Тут как-то сразу несколько проблем: кот перестал интересоваться улицей, начал кашлять, перестал умываться.
Депрессия у животных, конечно, тоже случается, но в редких случаях. Например, если любимый хозяин куда-то уехал.
Я бы начал расследование с полного обследования у ветеринара. Когда мы сами болеем, то настроение у нас тоже падает. Может быть и кашель не от шерсти. Кошки в добром здравии никак не могут перестать умываться.
Насчет отклонений в поведении можно поговорить с животным психологом, если таковой у вас имеется.
К сожалению, в нашем городе даже ветеринара как такового не имеется. Наш ветеринар умеет только кастрировать скот. Анализы либо какие-то другие обследования не доступны. Вот и остаётся самим пытаться разобраться.